問題３０４） a, b を実数とし， z = a + bi と置く。複素数 z の立方根は z = 0 でない限り三つあり，一つが分かれば他の立方根はこれに 1 の原始三乗根 ( -1 ± i*√3)/2 を乗じて得られる。そこで問題。この立方根の一つを a, b 及び虚数単位 i から四則演算(但し 0 で割る事は除外する。)， 実数の (奇数次)冪根 (実数値) 、非負実数の (偶数次)冪根 (非負実数値) を取る操作を有限回組み合わせて表す事は不可能である事を証明せよ。 (有名問題 解答 準備中）
問題３０９） f (x) を R における零の適当な近傍で定義された連続函数とする。この時，任意の絶対収束級数
Σ n = 1∞ an に対して， Σ n = 1∞ f (an) も又収束するための必要十分条件は，ある定数 M で， |f (x)| ≦ M|x| な物が存在することである。(新作問題 解答 準備中）
問題３１０） f を実数体 R から R への(必ずしも連続でない)函数で，二つの恒等式 i)
f (x + y) = f (x) + f (y), ii) f (xy) = f (x)*y + x*f (y) を満たす物とする。その様な
f 全体は自然に実ベクトル空間をなすが，その次元は 2 À = 函数の濃度である。(新作問題 解答）
問題３１７） y = f (x) を R の原点の近傍で定義された C2 級関数で， f (0) = f ' (0) = 0, f " (0) ≠ 0 なる物とする。この時，
h ＞ 0 に対して，点 A を A = (h, 0) とし，その関数のグラフである曲線上の点
B をその x-座標が正なる点で，OB （の長さ) = h となるように取る。 直線分
AB を延長し， ｙ-軸と交わった点の y-座標を g(h) とする。 h を 0 に収束させたとき，
g(h) はどのような値に収束するか ? （良くある問題 解答）
問題３１８） 4 つの賽を振るとき，出た目の和が 7 の倍数になる確率はいくらか ? （高校程度，解答） [一般化] n 個の賽を振る場合出た目の和が 7 の倍数になる確率はいくらか，又その値の
n → ∞ の時の極限値はいくらか ?
問題３２５） 一つの公理系 X を考える。公理系とは幾つかの（ここでは有限個又は，無限個の意味に使う。）の無定義対象
( 0 項述語），幾つかの無定義述語を先ず与え，それに対する幾つかの閉論理式の集まりを意味する。関数は述語の特別な物として捉える。
X が矛盾を有するなら， X の有限部分集合が矛盾を有する。（有名問題 解答）
問題３２６） f (x) = (1 + 1/x)x, ( x ＞ 0) と置くと， i) lim x → ∞ x2*{f (x+1) - f (x)} = e/2 となることを示せ。 ii) lim x → ∞ x*{e - f (x)} を求めよ。 (高校程度の問題 解答 準備中）
問題３２７） Sn を n 次対称群 (n ≧ 4) とする。 Sn の任意の元 a は， a = bc, b は n 次巡回置換， c は不動点 ( c (i) = i なる
i の事 ) を有しない置換，なる形の積として表される。 （新作問題 解答 準備中）
問題３２８） i) {1, 2. ....... , n} の濃度 r の部分集合で，連続した自然数を含まない物は何個有るか
? ii) 更に 1, n の組み合わせも含まないとすると何通りか ? iii) n 次正方行列を
A = (aij) を n 次正方行列で，aij = 1 (|i - j| = 1), aij = 0 （その他）で与えるとき， A の固有多項式を求めよ。 iv) n 次正方行列を
B = (bij) を n 次正方行列で，bij = 1 (|i - j| = 1), b1n= bn1 = 1, bij = 0 （その他）で与えるとき， B の固有多項式を求めよ。（良くある問題 解答
準備中）
問題３４６） X を Rn の凸閉領域， f を X 上の凸関数とする。 f が Rn 上の凸関数 F に拡張できるための必要十分条件は， X の任意の点 x に対し，その適当な凸近傍
V が存在し，制限 f | X ∩ V が V 上の凸関数に拡張できる事である。 (新作問題 解答 準備中)
問題３４７） G を有限群とする。 (更に非可換に限っても良い。) 次のそれぞれの条件を満たす
G を決定せよ。 (或いは簡明な必要十分条件を求めよ。）
i) G の全ての部分群は正規部分群。
ii) G は，ある（斜）体の乗法群に埋め込まれる。
iii) G はある次元の球面に位相的に自由に作用する。
iv) G は，ある次元の球面に，自由且つ滑らかに，更に向きを保って作用する。
v) G は自明でない中心を持ち、 G の正規部分群 H で、G の中心 Z(G) との交わりが自明な物 H は自明である。
問題３４８） α, β を 1 より大なる濃度 (基数) とするとき，適当な斜体 F と その部分斜体
K で F を K 上左ベクトル空間と考えたときの次元が α で， 右ベクトル空間と考えたときの次元が
β となるような物が存在する。(有名問題 (E. Artin の問題) 解答 準備中）
[拡張問題] αn, βn (n ∈ Z) を 1 より大なる濃度の列， K を可換体とするとき，斜体の包含系列
・・・ ⊂ Fn-1 ⊂ Fn ⊂ Fn+1 ⊂ ・・・で，
i) K は共通の中心である。
ii) Fn+1 を Fn 上の左ベクトル空間と考えた場合の次元は，αn, 右ベクトル空間と考えた場合の次元が βn (n ∈ Z) となる物が存在する。
問題３４９） f を Rn から Rn への連続写像で， || f (x) - x || ≦ 1 を満たしている物とする。この時，
f は全射である。(良くある問題 解答)
問題３５３） 四元整数環 R = { (a + bi + cj + dk)/2 ∈ H | a, b, c, d ∈ Z, a ≡ b
≡ c ≡ d (mod. 2) } は実際に環をなし，左単項イデアル整域であると同時に，右単項イデアル整域でもあることを示せ。
（有名問題 解答 準備中））
問題３５４） A, B を平面内の互いに交わらぬ凸閉領域とする。この時この平面上の直線で，
A, B 両者に接し， A, B がこの直線の同じ側にある物が 2 本，反対側にある物が
2 本有ることを示せ。 （有名問題 解答 準備中） [類題] 空間内の互いに交わらぬ有界凸閉領域 A, B, C が有るとき，この空間内の平面で，これらに接し，この平面の片側に
1 個の領域，その反対側に 2 個の領域が来る物（平面）は有限個である事を示せ。又その可能な数は幾つと幾つか
? 「接する」の意味が分からない人がいるかも知れないので，より分かり易い表現にするべく改訂中。長文にはなるが。
問題３５５） M を実解析的 Riemann 多様体とする。この時，距離関数の自乗 d (x, y)2 は M×M の対角線集合 ΔM の近傍で実解析的になる事を示せ。（有名問題 解答 準備中）
問題３５６） G を有限群， p を G の位数の最小素因数とする。この時， G の指数 p の部分群は正規部分群である。（良くある群論の演習問題 解答 準備中）
問題３５７） C を複素平面， G を C の自己双正則同型群の離散部分群， D ⊂ C を G -
作用不変な開集合とする。 商空間 D/G がコンパクトな既約成分を持たなければ，
D 上の正則関数環 R は群環 C[G] 上の入射的加群となる。又，「商空間 D/G がコンパクトな既約成分を持たなければ，」を「商空間
D/G がコンパクトな既約成分を有限個しか持たなければ，」に変えると， ExtC[G]* (C, R), * ＞ 0 は複素数体 C 上有限次元となる。（自作問題 解答 準備中）
[類題] C の代わりに単位開円板としても成立。正確な statement は後述。
問題３５８） i) 正の実数 x を小数表示し，小数第 2 位を四捨五入して得られた数の小数第
1 位を四捨五入して得られた数が丁度 3 になった。元の x はどの範囲にあるか
? ii) 正の実数 x を小数表示し，その数を 5 倍してから小数第 2 位を切り捨てて得られた数を
7 で割った数の小数第 1 位を切り上げて得られた数が丁度 3 になった。元の
x はどの範囲にあるか ? （自作問題 解答）
問題３５９） 二項係数 nCr , r = 1, 2, 3, ..... , n - 1 が全て 1 より大なる自然数 p で割り切れれば
p は素数で， n は p の冪である。（有名問題 解答 準備中）
問題３６０） なるべく簡単な （離散で良い) 確率空間と、そこに於ける (簡単な) 確率事象 A, B, C, D で、A, B, C は独立、 A, B, D は独立、 A, C, D は独立、 B, C, D は独立でないという物を作れ。 (容易問題 解答 準備中）
問題３６１） A を n 次正方行列とする。 この時、 A の余因子行列 B の階数は、 0, 1,
n の何れかである。又、 A がどの様なとき B がその階数がその値を取るか ?
（良くある問題 解答 準備中）
問題３６２） n を自然数とし、縦 1 マス、横 n マスの長い碁盤に先手と後手が互いに一つ宛碁石を置いて行く。先ず先手は何処にでも置ける。
次からは、既に置いてあるマスは勿論、その隣もダメで、それ以外の場所に置かなければならない。そして、碁石を置けなくなった方が負けである。先手必勝となる
n を全て求めよ。 （有名問題 解答 準備中） [拡張類題] 自然数 n, k を固定する。 n を自然数とし、縦 1 マス、横
n マスの長い碁盤に先手と後手が互いに k 個宛碁石を置いて行く。但しそれは、空いている場所で、且つ
k 個が連続していなければならない。 k = 2, 3, 辺りの時、先手必勝になる
n の値を全て求めよ。
問題３６３） 行列群 GL(n, C) の有限生成部分群 G は有限表示であり、 G の指数有限の部分群全体の交わりは自明部分群
{e} となる。（有名問題 証明は意外と容易 解答 準備中）
問題３６４） G を有限アーベル群とするとき、 G の元の総乗積 Πg ∈ G g はどうなるか ? （良くある問題 解答）
問題３６５） Cn の開集合 D1, D2 が有るとする。 D = D1 ∩ D2 上の正則関数 h (z) がそれぞれ D1 , D2 上で正則関数な函数 f (z) , g (z) によって h (z) = f (z) - g (z) と書けるための必要十分条件は、
Cn の任意の点の開集合芽に h を制限したとき、そうなる事である。 （有名問題 解答 準備中）
問題３６６） x4 + y4 + z4 = 1 の制約条件の下で、x2 + y2 + z2 の最大値・最小値を求めよ。 （高校レベルの条件付き極値問題 解答 ）[類題] x + y + z = 1, y2 + z2 = 4 の時、 x + 2y の最大最小を求めよ。
問題３６７） R - {0, 1} 上定義された実数値連続関数 f で恒等式
f (x) + f (1 - 1/x) = 1 + x
を満たす物を全て求めよ。 (良くある問題 解答）
問題３６９） a, b, c を 0 ＜ a, b, c ≦ 1 なる実数とするとき、不等式
a/(b + c + 1) + b/(a + c + 1) + c/(a + b + 1) + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≦
1
を示せ。 (有名問題 解答 準備中）
問題３７０） 実係数の 2 つの整式 f (x) と g (x) と実数 a について、
{ f (x) } 3 - { g (x) } 3 が (x - a) 2 で割り切れて (x - a) 3 で割り切れないとすると、 f (x) - g (x) が (x - a) 2 でで割り切れることを示せ。 (良くある問題 解答）
問題３７１） 1 より大なる二つの無理数 α, β で、どんな自然数 m, n に対しても [αm] ≠ [βn] となるようなものは存在するか。ただし [ , ] はガウスの記号とする。 (良くある問題 解答）
問題３８０） (簡単のため一変数のみで考える。) 一変数複素解析函数 y = f (x) が微分代数的函数であるとは、適当な非負整数
n, 複素定数係数多項式 F (x0 , x1 , x2 , ......... , xn) で xn を真に含む物があり、 恒等式 F (y, dy/dx, d2y/dx2, ........................ , dny/dxn) = 0 を満たすことを云う。この時、
i) 微分代数的函数から四則演算、合成、逆を取る操作を有限回使って得られた函数は又、微分代数的函数である。
ii) ガンマ函数 Γ (x) は微分代数的函数ではない。 (有名問題 但し i) は難しくない 解答 準備中）
問題３８１） m, n を m, n ≧ 3 なる自然数とする。この時、連続単射群準同型 f ： Spin
(m) → Spin (n) で、中心を中心に写す、即ち f ( Z (Spin (m) ) ⊂ Z (Spin
(n) ) なる物が存在するための条件は何か (新作問題 解答 準備中) [類題]
ｆ の始域(定義域)、終域を SO (n), O (n), U (n) 等で置き換え様々な類題が得られる。更に始域の中心の中の位数
2 の元 j を一つ固定して f (j) = - E , E は単位行列、と云う条件を付けると面白い。
問題３８２） X1 , X2 , ..... , Xn , Y1 , Y2 , ..... , Yn を変数とする C 上形式冪級数環 C [[ X1 , X2 , ..... , Xn , Y1 , Y2 , ..... , Yn ]] に於いて、 F (X1 , X2 , ..... , Xn , Y1 , Y2 , ..... , Yn) = Π 1 ≦ i ＜ j ≦ n exp (Xi *Yj) , G (X1 , X2 , ..... , Xn , Y1 , Y2 , ..... , Yn) = Σ σ ∈ S n (sgnσ) * F (Xσ(1) , Xσ(2) , .......... , Xσ(n) , Yσ(1) , Yσ(2) , .......... , Yσ(n)) とする。 但し、 exp は指数関数、 Sn は {1, 2, 3 ..... n} 上の対称群、 sgn は置換の符号である。 上記の形式冪級数 G の項の最低次数はいくらか ? 又、その次数の同次部分を求めよ。
(新作問題 解答 準備中） [関連問題] 上記 G は全空間で収束する収束冪級数となるが、その原点に於ける零点集合の形状はどうなるか？
問題３８３） 平面(或いはその領域)上に一次元のパラメータを持つ曲線族がある。それに属する任意の二つの曲線
C = C (t) , C' = C (u) が定距離にあるとする。 即ち C 上に中心を持つある一定の半径
d （= 距離） の円周族の一つの包絡線の一つが C' となっているとする。この時元の曲線族は平行直線族か、同心円周族か何れかである。(解答 準備中)
問題３８４） R = C [ xij ; i, j = 1, 2, .... , n ] を C 上 n2 変数多項式環とする。 Tij = Σk = 1n xik*xjk , Uij = Σk,= 1n xki*xkj , R1 = C [ Tij ; i, j = 1, 2, .... , n ] ⊂ R, R2 = C [ Uij ; i, j = 1, 2, .... , n ] ⊂ R, R0 = R1 ∩ R2 と置くとき、 R0 は C 上どの様な多元環か ? (新作問題 解答 準備中）
問題３８５） 空間に座標をとり、原点を O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1) とする。 A を端点とする半直線で、ベクトル
AＯ→となす角が一定値 θ であるもの全体がつくる円錐面を S とする。ただし、 cos
θ = √(2/3), 0 ＜θ ＜ π/2 とする。 このとき、 x ≧ 0, y ≧ 0, z ≧ 0
を満たす部分と S とが囲んでできる立体の体積を求めよ。 (良くある問題 解答）
問題３８７） 係数体 K を K = Q, R or C とする。 m, n を自然数とし、 K 係数 m 変数
n 次同次多項式 f (x1 , x2 , ..... , xm) を一つ与える。 この時、適当な自然数 k と、 K 係数の x1 , x2 , ..... , xm を変数 1 次同次式を各成分に持つ適当な k 次行列 X で、 f (x1 , x2 , ..... , xm)*Ek = Xm , 但し Ek は k 次単位行列、を満たす物が存在する。 (新作問題 解答 準備中)
問題３８８） f を Rn の原点の近傍で定義された C∞ 級函数とし、原点の近傍で定義された適当なC∞ 級函数 fi , i = 1, 2, ..... , n が有り、 f (x1 , x2 , ..... , xn) = f (0, 0, ..... , 0) + x1* f1 + x2* f2 + ......... + xn* fn となる。(有名問題 解答 準備中） [類題] 原点に於ける Cω 級函数芽でも同様なことが成立する。証明はより易しくなる。
問題３９０） 素数全体の集合 P 上の適当なウルトラフィルター U を取り、各 p ∈ P に対し Fp = Z/pZ を対応させてウルトラ積を取ると、標数 0 の体が出来るが、この体は
( U を適当に取ることにより ) 素体の代数的閉包を含む。 （有名問題 解答 準備中）
問題３９１） f (x) = log (2 + sin x) のマクローリン展開の収束半径を求めよ。 （簡単な演習問題 解答 準備中）
問題３９２） 自然数列 { a (n) }, n = 1, 2, 3, ...... で次のに条件を満たす物は存在しないことを示せ。
i) n ＜ f (n)
ii) 任意の数列（或いは完備距離空間に於ける）点列 { pn } について、次が成立 ： これが収束するための必要十分条件は lim n, m |pn - pm| = 0,
但し極限は n ≦ m ≦ a (n) の条件の下に n, m → ∞; となることである。
問題３９３） C を複素数体、 C3 を C 上の 3 次元アフィン空間、 P3 を C 上の 3 次元射影空間とするとき、これらは Zariski 位相で同相でないことを示せ。
（有名問題 某書物より 解答 準備中）
問題３９４） X を自由群、 Y を自由モノイド（一般にどちらも階数は無限大であっても良いが、少なくとも一方は自明でないとする。）
Z をそれらもモノイドとしての自由積とする。 K が体なら R = K [Z] の大域次元は
1 で、 K が体でない PID なら R = K [Z] の大域次元は 2 である。（有名問題 解答 準備中）証明はその方面の基礎知識さえあれば難しくないが少々長くなる。
問題３９５） 開区間 (a, b) 上で連続な函数 f (x) について、次の条件 (P) を考える。
(P) ： (a, b) 上 C2 級函数 F (x) で、 F ' ' (x) = f (x) なる物を取ると、F (x) - f (x) が (広義で)
下に凸、即ち k (x) = F ' ' (x) - f (x) と置くと、 a ＜ x ＜ y ＜ b と、
t, u ≧ 0, t + u = 1 に対して k (tx + uy) ≦ t*k (x) + u*k (y) となる。（なお、この定義は
F の取り方によらず、 well-defied となる。）
さて問題。 (a, b) 上の非負値連続函数 f1 (x), f2 (x), .............. , fn (x), が条件 (P) を満たすなら、 g (x) = √(Σ i = 1n fi (x)2 ) も条件 (P) を満たす。 （良くある問題の改作 解答 準備中)
問題３９６） 空間内に凸多面体 K が有ったとする。その各頂点 P に対し、そこに集まる面の P の角の和を 2π から引いた物を (仮にここだけで) P の 外角と云う事にすると、 K の各頂点の外角の和は 4π となる。(有名問題 解答 準備中)
問題３９７） R に於ける(有限)半開区間 [a, b) が半開区間の（高々）可算個の和集合 ∪i = 1∞ [ai, bi) に包含されたなら、(式では可算無限個の場合のみ書いた。) b - a ≦ Σ i = 1 ∞ (bi - ai) ( ≦ ∞ ) なる事を、測度論など使わずに、初等的な範囲で直接証明せよ。（解答 準備中)
問題３９８） S1 = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1 } , H = { a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R } を Hamilton の四元数體とする。（體はここでは必ずしも可換でない體の意味で使うことにする。）更に
S3 = { a + bi + cj + dk ∈ H | a2 + b2 + c2 + d2 = 1 } とする。これらの球面には自然に向きを付けておく。 m, n, p, qを整数とし、
f (m, n, p) ： (S1)3 → S3 を、f (m, n, p, q) ((t, u), (v, w), (x, y)) = (t + ui)m(v + wj)n(x + yk)p(v + wi)q で定めるとき、 f (m, n, p, q) の写像度はいくらか？(新作問題 解答 準備中 問題も改訂中)
問題３９９） 自然数 n に対して、xyz-座標空間内の立方体を Xn = { (x, y, z) | 0 ≦ x ≦ n, 0 ≦ y ≦ n, 0 ≦ z ≦ n } で与える。これを
(x + y + z - m)*(x - y + z - k)*(x + y - z - p)*(x - y - z - q) = 0, m,
k, p, q ∈ Z で表される平面族で切り分けた場合、何個の断片が得られるか？(新作問題 解答 準備中)
問題４００） 任意の環 R の元 A1, A2,
... , An に対して、問題７８） にも有るように、 [ A1, A2, ... , An ] = Σσ sgn(σ) Aσ(1)Aσ(2) ... Aσ(n) 但し，σ は {1, 2, .... , n} の置換全体を動き， sgn(σ) はその置換 σ
の符号として定める。さて、改めて n, k を自然数とし、 n1, n2, ............ , nk を n1 + n2 + ............ + nk = n なる自然数とする。そこで問題。任意の環 R の任意の元 A1, A2,
... , An に対して、Σσ sgn(σ) [ [ Aσ(1), Aσ(2), ... Aσ(n 1) ] , [ Aσ(n 1 + 1) , Aσ(n 1 + 2) , ......... , Aσ(n 1 + n 2 ) ] , [ Aσ(n 1 + n 2 + 1 ) , ......... , Aσ(n 1 + n 2 + n3 ) ] , [............... ] , [Aσ(n 1 + n 2 + ....... + nk - 1) , ................. , Aσ(n) ] ] (但し，σ は {1, 2, .... , n} の置換全体を動き， sgn(σ) はその置換
σ の符号として定める。) = f ( n1, n2, ............ , nk )*[ A1, A2, ... , An ] が恒等的に成立するように数 f ( n1, n2, ............ , nk ) を定めるとき、この数を求めよ。(新作問題 解答 準備中)
